Question

设函数，其中a>0。曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1。
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）。 证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）。
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由得
f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
得f（0）=1，f′（0）=0，
故b=0，c=1。
（Ⅱ）
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（x）（-t），
化简得
即t满足的方程为
下面用反证法证明，
假设f′（x₁）=f′（x₂），
由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及 （x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：
由（3）得x₁+x₂=a，由（1）-（2）得
又
故由（4）得，
此时与矛盾
所以f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）由（Ⅱ0知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，
等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程有三个相异的实根
设，
则
由于a>0，故有

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当，即
∴a的取值范围是。