【题目】设为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于、两点.
(1)若,求此时直线的方程;
(2)若与直线垂直的直线过点,且与抛物线相交于点、,设线段、的中点分别为、,如图,求证:直线过定点;
(3)设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、,若△的面积是△的面积的两倍,如图,求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)求出抛物线的焦点坐标,由直线方程的点斜式写出直线l的方程,和抛物线方程联立后利用2得直线方程.
(2由(1)得点P,又直线与直线垂直,将m换为,同理可得Q(,﹣).由此可求直线PQ的方程,可得结论;
(3)利用△的面积是△的面积的两倍,求出N的坐标,再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程.
(1)抛物线焦点坐标为F(1,0),设直线方程为x=my+1,
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,得:y2﹣4my﹣4=0,
则由韦达定理有:y1+y2=4m,①,y1y2=﹣4,②
∵2,
∴1﹣x1=2(x2﹣1),﹣y1=2y2,③,
由①②③可得m2,∴,
∴直线方程为x=y+1,即.
(2)由(1)得点P,又直线与直线垂直,将m换为,
同理可得Q(,﹣).
m时,直线PQ的斜率kPQ,
直线PQ的方程为:y-2m(x﹣1﹣2),整理为m(x﹣3)﹣(m2﹣1)y=0,于是直线PQ恒过定点E(3,0),
m=±1时,直线PQ的方程为:x=3,也经过点E(3,0).
综上所述:直线PQ恒过定点E(3,0).
(3)设S(x1,y1),T(x2,y2),
F(1,0),准线为 x=﹣1,2||=|y1﹣y2|,
设直线TS与x轴交点为N,
∴S△TSF|FN||y1﹣y2|,
∵的面积是△TSF的面积的两倍,
∴|FN|=,∴|FN|=1,
∴xN=2,即N(2,0).
设TS中点为M(x,y),由得﹣=4(x1﹣x2),
又,
∴,即y2=2x﹣4.
∴TS中点轨迹方程为y2=2x﹣4.
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【题目】过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来,以保证自己生活的稳定,考虑到通货膨胀的压力,如果我们把所有的钱都用来储蓄,这并不是一种很好的方式,随着金融业的发展,普通人能够使用的投资理财工具也多了起来,为了研究某种理财工具的使用情况,现对年龄段的人员进行了调查研究,将各年龄段人数分成5组,,,,,,并整理得到频率分布直方图:
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)求被调查人员的年龄的中位数和平均数;
(Ⅲ)采用分层抽样的方法,从第二组、第三组、第四组中共抽取8人,在抽取的8人中随机抽取2人,则这2人都来自于第三组的概率是多少?
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【题目】已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.
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【题目】如图所示,在长方体中,已知,.
(1)求:凸多面体的体积;
(2)若为线段的中点,求点到平面的距离;
(3)若点、分别在棱、上滑动,且线段的长恒等于,线段的中点为
①试证:点必落在过线段的中点且平行于底面的平面上;
②试求点的轨迹.
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【题目】定义:若存在常数,使得对定义域D内的任意两个不同的实数,均有:成立,则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件.
(1)试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值,并加以验证;
(2)若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,求常数的最小值;
(3)现有函数,请找出所有的一次函数,使得下列条件同时成立:
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件;
②方程的根也是方程的根,且;
③方程在区间上有且仅有一解.
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【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量 (袋),得到如下统计表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 (万人) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 (袋) | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根据所给5组数据,求出关于的线性回归方程.
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量 (袋)的关系为,
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润销售收入原材料费用).
参考公式: , .
参考数据: , , .
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【题目】对于函数,若函数是增函数,则称函数具有性质A.
若,求的解析式,并判断是否具有性质A;
判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题,并说明理由;
若函数具有性质A,求实数k的取值范围,并讨论此时函数在区间上零点的个数.
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