Question

已知等差数列{a_n}的前n项和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2ⁿ项，…，按原来顺序组成一个新数列{b_n}，记该数列的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

解：（1）设等差数列的公差为d，则
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）据题意得b_n==2×2ⁿ+1．
∴数列{b_n}的前n项和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×+n=2ⁿ⁺²+n-4．
分析：（1）设出等差数列的公差为d，利用S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，建立方程，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定新数列{b_n}的通项，利用分组求和，即可求T_n的表达式．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查由等差数列的性质求其通项，考查利用分组求和的技巧求新数列的和，其特征是一个数列的通项如果一个等差数列的项与一个等比数列的项，则可以采用分组的方法求和．