Question

14．设直线l与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与圆（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，4）
• C． （2，3）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2$\sqrt{3}$，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在时，设斜率为k，则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}$，相减，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky₀=2，
因为直线与圆相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y²=4x，得y²=12，∴-2$\sqrt{3}＜{y}_{0}＜2\sqrt{3}$，
∵M在圆上，∴（x₀-5）²+y₀²=r²，∴r²=y₀²+4＜12+4=16，
∵直线l恰有4条，∴y₀≠0，∴4＜r²＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．

点评 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．