Question

已知：函数f（x）=-x（x-a）²　（a∈R）
（1）求a=1时曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
（2）当a＜0时，求函数f（x）的极小值
（3）是否存在实数a，使得f（x）在[-1，1]上单调递增．若存在求出a，若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x∴f'（x）=-3x²+4x-1∴f'（2）=-5，f（2）=-2∴切线方程：y+2=-5（x-2），即：5x+y-8=0（4分）
（2）∵f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x∴f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a）（5分）
则f（x），f'（x）的关系如下表表示：

	（-∞，a）	a
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴f（x）的极小值=f（a）=0（8分）
（3）∵f（x）=-x（x-a）²在[-1，1]上单调递增，则f'（x）=-3x²+4ax-a²≥0在[-1，1]恒成立 （9分）
∴∴a无解 （13分）
综上，不存在实数a，使得f（x）在[-1，1]上单调递增 （14分）
分析：（1）当a=1时f（x）=-x³+2x²-x，得f′（x）=-3x²+4x-1，当x=2时y=-2，得切点为（2，-2）得切线的斜率k=-5；
（2）f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a），再研究导数为0时，左右附近的正负情况即可；
（3）欲使f（x）在[-1，1]上单调递增，只需f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，即可求出a的范围．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性、极值等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力．解决此类问题的方法是利用导数求出切线的斜率再求出切点即可，而解决方程有解问题时一般先转化为利用导数求函数的最值，利用最值求出参数的范围即可，高考考查的重点．