Question

设双曲线S：

x2

a2

-

y2

b2

=1，M（x₀，y₀）∉S，且x₀y₀≠0．N（λx₀，λy₀），其中

1

λ

=

x02

a2

-

y02

b2

．过点N的直线L交双曲线S于A，B两点，过点B作斜率为

b2x0

a2y0

的直线交双曲线S于点C．求证：A，M，C三点共线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），过点M作斜率为

b2x0

a2y0

的直线m，则直线m的方程为y-y0=

b2x0

a2y0

(x-x0)，设直线m交NA与点P、交NC于点Q，F（x_P，y_P）为BC中点．则

yP

xP

=

y0

x0

．从而M为PQ中点．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-λy₀=k（x-λy₀），x₁，x₂是方程

x2

a2

-

1

b2

[k(x-λx0)+λy0]2=1的两根．由此利用韦达定理结合已知条件能证明A，M，C三点共线．

解答： 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
过点M作斜率为

b2x0

a2y0

的直线m，则直线m的方程为y-y0=

b2x0

a2y0

(x-x0)，①
设直线m交NA与点P、交NC于点Q，F（x_P，y_P）为BC中点．
由B，C∈S得：

x22

a2

-

y22

b2

=1，

x32

a2

-

y32

b2

=1．
两式相减后化简后可得：

yP

xP

=

y0

x0

．
∴F在直线MN上．从而M为PQ中点．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-λy₀=k（x-λy₀），②
故x₁，x₂是方程

x2

a2

-

1

b2

[k(x-λx0)+λy0]2=1的两根．
整理得：（

1

a2

-

k

b2

）（x-λx₀）²+2（

λx0

a2

-

kλy0

b2

）•（x-λx₀）+λ2(

x02

a2

-

y02

b2

)-1=0，
将

1

λ

=

x02

a2

-

y02

b2

代入上式，得：
（

1

a2

-

k2

b2

）（x-λx₀）+2λ（

x0

a2

-

ky0

b2

）（x-λx₀）+λ-1=0，
将其视为关于（x-λx₀）的一元二次方程．由韦达定理，有

1

x1-λx0

+

1

x2-λx0

=

-2λ

λ-1

（

x0

a2

-

ky0

b2

），③
联立①②，消去y得到

1

xP-λx0

=

λ

λ-1

（

ky0

b2

-

x0

a2

）．
比较③式得：

2

xP-λx0

=

1

x1-λx0

+

1

x2-λx0

．
从而

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
下面利用平面几何知识证明A，M，C三点共线．
首先假设A，M，C三点共线，来证明：

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
过A做直线AD∥BC，交NC于D．设G为AD中点．
由于AD∥BC∥PQ，∴AD，BC，PQ的中点G，F，M共线（过点N）．
∴

NA

NB

=

AG

BF

=

AG

FC

=

AM

MC

=

AP

BP

=

NP-NA

NB-NP

．
整理即得：

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

．
反之，用同一法可证明当

2

NP

=

1

NA

+

1

NB

时，A，M，C三点共线．

点评：本题考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、双曲线性质、韦达定理等知识点的综合运用．