Question

已知函数f（x）=-

1

3

x³+x²+3x+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-3，3]上的最小值为

7

3

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）求出f（x）在区间[-3，3]上的最小值，建立方程，即可求a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-

1

3

x³+x²+3x+a，
∴f′（x）=-x²+2x+3，
令f′（x）＞0，得-1＜x＜3；令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3，
∴所求f（x）的单调减区间为（-∞，-1]和[3，+∞），单调增区间为[-1，3]．
（2）当x∈[-3，-1]时，f′（x）＜0，[-1，3]时，f′（x）＞0
∴f（x）≥f（-1）．
∴

1

3

+1-3+a=

7

3

，
∴a=4．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，注意利用好导数工具．