Question

已知二次函数f（x）满足：①当x=1时有极值；②图象与y轴交点的纵坐标为-3，且在该点处的切线与直线x=2y-4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函数g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线斜率恒大于a²-a-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用待定系数法，结合导数的几何意义，求出f（x）的表达式，即可求f（1）的值；
（2）求出g（x）的表达式，利用导数求出切线斜率，结合一元二次不等式的解法即可得到结论．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
∵x=1时有极值，∴对称轴为1，即-

b

2a

=-1，
由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）处的切线斜率k=f′（0）=b，
又在该点处的切线与直线x=2y-4垂直，故b=-2，
解得a=1，则f（x）=x²-2x-3，
则f（1）=-4；
（2）若函数g（x）=f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx，
则∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），
∴f（t）=t²-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，
若函数g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线斜率恒大于a²-a-2，
则f′（t）＞a²-a-2恒成立，即a²-a-2≤-2，
即a²-a≤0，解得0≤a≤1．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及导数的几何意义的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．