Question

巳知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1与双曲线

x2

2

-y²=1有公共焦点，且离心率为

3

2

．A、B分别是椭圆C的左顶点和右顶点．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点．直线AS，BS分别与直线l：x=

10

3

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断以SM为直径的圆是否过点B，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c= 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AS：y=k（x+2），则M（

10

3

，

16k

3

），由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件得

BS

•

BM

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）•（

4

3

，

16k

3

）=0，由此能证明以SM为直径的圆过点B．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1与双曲线

x2

2

-y²=1有公共焦点（-

3

，0），（

3

，0），
且离心率为

3

2

，
∴

c= 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=

3

，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由题意知直线AS的斜率k存在，且k＞0，设直线AS：y=k（x+2），
∵直线AS，BS分别与直线l：x=

10

3

分别交于M，N两点，∴M（

10

3

，

16k

3

），
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设S（x₁，y₁），则（-2）x₁=

16k2-4

1+4k2

，∴x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

4k

1+4k2

，
∴S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），又B（2，0），
从而

BS

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），

BM

=（

4

3

，

16k

3

），

BS

•

BM

=（-

16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）•（

4

3

，

16k

3

）=0，
∴

BS

⊥

BM

，
∴以SM为直径的圆过点B．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查以SM为直径的圆是否过点B的判断与证明，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．