Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

．它有一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左右顶点分别为A，B，直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点．试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据题意b=1，e=

3

2

，a=2，可求出椭圆的方程；设C（x，y）、P（x₀，y₀），可得x₀=x且y₀=

1

2

y，结合点P（x₀，y₀）在椭圆上代入化简得到x²+y²=4，即为动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设C（m，n）、R（2，t），根据三点共线得到4n=t（m+2），得R的坐标进而得到D（2，

2n

m+2

）．由CD斜率和点C在圆x²+y²=4上，解出直线CD方程为mx+ny-4=0，最后用点到直线的距离公式即可算出直线CD与圆x²+y²=4相切，即CD与曲线E相切．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，可得b=1，e=

3

2

，∴a=2，因此，椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．-----------------（4分）
设C（x，y），P（x₀，y₀），由题意x₀=x，y₀=

1

2

y，-----------------（6分）
代入

x2

4

+y2=1，即x²+y²=4．
即动点C的轨迹E的方程为x²+y²=4．-----------------（8分）
（Ⅱ）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），
∵A、C、R三点共线，∴

AC

∥

AR

，
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=

4n

m+2

，可得点R的坐标为（2，

4n

m+2

），点D的坐标为（2，

2n

m+2

），-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k=

mn

m2-4

，
而m²+n²=4，∴-n²=m²-4，代入上式可得k=-

m

n

，-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=-

m

n

（x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d=

4

m2+n2

=2=r，
因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切，-----------------（14分）

点评：本题给出椭圆及其上的动点，求椭圆的方程并用此探索直线CD与曲线E的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆的位置关系和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．