Question

已知椭圆的顶点与双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦点重合，它们的离心率之和为

13

5

，若椭圆的焦点在y轴上．
（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；
（2）求椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的几何量，可得焦点及离心率，渐近线方程；
（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，求出椭圆的方程．

解答： 解：（1）设双曲线

y2

4

-

x2

12

=1的焦距为2c₁，离心率为e₁，（2分）
则有：c₁²=4+12=16，c₁=4   （4分）
∴e₁=2，渐近线方程为y=±

3

3

；（6分）
（2）椭圆的离心率为

3

5

，
∴

c

a

=

3

5

．又a=4，
∴c=

12

5

；
∵a²=b²+c²，（10分）
∴b²=

256

25

；
∴所求椭圆方程为

y2

16

+

x2

256 25

=1（12分）

点评：本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，用待定系数法求出椭圆标准方程是解题的关键．