Question

已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足：|z+

5

|-|z-

5

|=2a，且z在复平面上的对应点P的轨迹C经过点（4，

3

）
（1）求C的轨迹；
（2）若过点A（4，0），倾斜角为

π

4

的直线l交轨迹C于M、N两点，求△OMN的面积S．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,复数的代数表示法及其几何意义,复数求模

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设轨迹C的方程为：

x2

a2

-

y2

5-a2

=1，将（4，

3

）代入方程，能求出C的轨迹方程．
（Ⅱ）直线l的方程为：y=x-4，联立方程：

y2= x2 4 -1 y=x-4

，得3y²-8y-12=0，由此利用椭圆弦长公式能求出△OMN的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，设轨迹C的方程为：

x2

a2

-

y2

5-a2

=1，
∵焦点坐标是（±

5

，0），∴焦点在x轴上，
将（4，

3

）代入方程，得：

16

a2

-

3

5-a2

=1，
整理，得a⁴-24a²+80=0，
解得a²=4，或a²=20
∵焦点是（±

5

，0），∴a²=20不合题意，舍去，
∴C的轨迹方程是：

x2

4

-y2=1（x≥2）．
（Ⅱ）∵直线l过点A（4，0），倾斜角为

π

4

，
∴直线l的方程为：y=x-4，
联立方程：

y2= x2 4 -1 y=x-4

，得3y²-8y-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

8

3

，y₁y₂=-4，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4

3

13

，
|OA|=4，
∴△OMN的面积S=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

8 13

3

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．