Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A、B、M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

．
①试求直线OA与OB的斜率的乘积；
②试求|

OA

|²+|

OB

|²的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知

c a = 2 2 2c=2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，设M（x，y），则

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

，由此结合已知条件推导出k_OA•k_OB=-

1

2

．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x12

2

•

x22

2

=1-(y12+y22)+y12y22，由此得到y12+y22=1，x12+x22=2，从而能求出|

OA

|²+|

OB

|²=x12+y12+x22+y22=3．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其焦距为2，
∴

c a = 2 2 2c=2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x12

2

+y12=1，（i），

x22

2

+y22=1，（ii），
又设M（x，y），∵

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，
故

x=x1cosθ+x2sinθ y=y1cosθ+y2sinθ

∵M在椭圆上，
∴

(x1cosθ+x2sinθ)2

2

+（y₁cosθ+y₂sinθ）²=1，
整理得：(

x12

2

+y12)cos2θ+(

x22

2

+y22)sin2θ+2（

x1x2

2

+y1y2）cosθsinθ=1，
将（i）（ii）代入上式，并由cosθsinθ≠0，
得

x1x2

2

+y1y2=0，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
②(y1y2)2=(-

x1x2

2

)2=

x12

2

•

x22

2

=(1-y12)(1-y22)
=1-(y12+y22)+y12y22，
故y12+y22=1，
又（

x12

2

+y12）+（

x22

2

+y22）=2，
故x12+x22=2，
|

OA

|²+|

OB

|²=x12+y12+x22+y22=3．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率乘积的求法，考查两线段平方的和的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．