Question

以F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点的椭圆C过点A（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过点A作椭圆C的两条倾斜角互补的动弦AE，AF，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）求△OEF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意，根据椭圆的定义，求出a，利用c=1，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k（x-1）+

3

2

代入椭圆方程，求出E，F的坐标，即可求直线EF的斜率；
（Ⅲ）设直线EF的方程，代入椭圆方程，求出△OEF面积，利用基本不等式求△OEF面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，2a=

4+ 9 4

+

3

2

=4，∴a=2，
∵c=1，
∴b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k（x-1）+

3

2

，
代入椭圆方程得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+（3-2k）²-12=0
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
∵A（1，

3

2

）在椭圆上，
∴x_E=

4k2-12k-3

4k2+3

．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-k代k，可得x_F=

4k2+12k-3

4k2+3

∴直线EF的斜率为k•

8k2-6-2(4k2+3)

-24k

=

1

2

即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．
（Ⅲ）设直线EF：x-2y+c=0，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
直线EF：x-2y+c=0代入椭圆方程可得16y²-12cy+3（c²-4）=0，
由△＞0可得-4＜c＜4，
∵|EF|=

5

|y₁-y₂|=

15(16-c2)

4

，O到直线EF的距离d=

|c|

5

，
∴△OEF面积为

1

2

|EF|d=

3

8

•

(16-c2)c2

≤

3

8

•

16

2

=

3

，
当且仅当c=-2

2

时，△OEF面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，属于常规题，解题时认真分析，找准突破口，