Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）当a≥-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）将a=-2代入，然后求出导函数f'（x），利用x∈（1，+∞），f′（x）＞0，可得结论；
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（3）当x∈[1，e]时，f（x）≤a+2可化为a≥

x2-2x

x-lnx

，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答： （1）证明：当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

．
∴当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；------------（3分）
（2）解：f′（x）=

2x2+a

x

（x＞0），当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1；-------（7分）
（3）解：当x∈[1，e]时，f（x）≤a+2可化为a≥

x2-2x

x-lnx

，
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，则g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

∵x∈[1，e]，∴g′（x）≥0
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．