Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=3时，设函数f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）：已知f′（-1）=0，根据求导数的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到关于a和b的等式解出b即可；
（2）：令f′（x）=0求出稳定点时x的值1-2a和-1，根据1-2a和-1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可；
（3）：由（1）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．

解答： 解：（1）依题意，得f'（x）=x²+2ax+b
由f'（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1
（2）由（1）得f(x)=

1

3

x3+ax2+(2a-1)x
故f'（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f'（x）=0，得x=-1或x=1-2a
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1-2a）	（1-2a，-1）	（-1+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	单调递增	单调递减	单调递增

①当a＞1时，1-2a＜-1由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．
②当a=1时，1-2a=-1．此时f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R．
③当a＜1时，1-2a＞-1同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞）单调减区间为（-1，1-2a）．
（3）：当a=3时，f（x）=

1

3

x³+3x²+5x，
由得f'（x）=x²+6x+5，解得x=-5或x=-1，
由（2）知函数f（x）的单调增区间为（-∞，-5）和（-1，+∞），单调减区间为（-5，-1）
∴函数f（x）在x₁=-5，x₂=-1处取得极值，
故M(-5，

25

3

)，N(-1，-

7

3

)
∴直线MN的方程为，y=-

8

3

x-5．
由

y= 1 3 x3+3x2+5x y=- 8 3 x-5

消去y得：得x³+9x²+23x+15=0，
令F（x）=x³+9x²+23x+15．
易得F（-4）=3＞0，F（-2）=-3＜0，而F（x）的图象在（-4，-2）内是一条连续不断的曲线，
故F（x）在（-4，-2）内存在零点x₀，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．