Question

已知椭圆C₁的中心为原点O，离心率e=

2

2

，其一个焦点在抛物线C₂：y²=2px的准线上，若抛物线C₂与直线l：x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若点T满足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₁上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，试说明：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|TF₁|+|TF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由

y2=2px x-y+ 6 =0

，得y2-2py+2

6

p=0，由△=0得抛物线C₂的方程为：y2=4

6

x，从而c=

6

，由离心率e=

c

a

=

2

2

，能求出椭圆的标准方程．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，得x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，得x1x2+2

y

1

y2=0，由此利用已知条件推导出存在两个定点F₁，F₂，且为椭圆

x2

60

+

y2

30

=1的两个焦点，使得|TF₁|+|TF₂|为定值．

解答： 解：（I）由

y2=2px x-y+ 6 =0

，得y2-2py+2

6

p=0，
∵抛物线C₂：y²=2px与直线l：x-y+

6

=0相切，
∴△=4p²-8

6

p=0，解得p=2

6

．…（2分）
∴抛物线C₂的方程为：y2=4

6

x，其准线方程为：x=-

6

，∴c=

6

，
∵离心率e=

c

a

=

2

2

，∴a=

12

，b²=12-6=6，
故椭圆的标准方程为

x2

12

+

y2

6

=1．…（4分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，
得（x，y）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，…（6分）
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知：
k_OM•k_ON=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x1x2+2

y

1

y2=0，…（8分）
∵点M，N在椭圆x²+2y²=12上，
∴x12+2y12=12，x22+2y22=12，
故x2+2y2=(x12+4x22+4x2x2)+2（y12+4y22+4y1y2）
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4(x1x2+y1y2)
=60+4（x₁x₂+2y₁y₂），
∴x²+2y²=60，从而可知：T点是椭圆

x2

60

+

y2

30

=1上的点，…（11分）
∴存在两个定点F₁，F₂，且为椭圆

x2

60

+

y2

30

=1的两个焦点，
使得|TF₁|+|TF₂|为定值，其坐标为F1(-

30

，0)，F2(

30

，0)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的两个定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．