Question

已知椭圆C方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F₁，F₂，若椭圆C上的点P（1，

3

2

）到F₁，F₂的距离和等于4．
（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点M是椭圆C的动点，MF₁交椭圆与点N，求线段MN中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠A0B为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）把点A的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（Ⅱ）设线段MN中点T（x，y），利用点差法，结合直线MN的方程，化简即得线段MN中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），的焦点在x轴上，
且椭圆上的点A到焦点F₁、F₂的距离之和是4，
∴2a=4，即a=2；
又∵点A（1，

3

2

）在椭圆上，
∴b²=1，∴c²=a²-b²=

3

；
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1，
焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．　　…（5分）
（Ⅱ）设椭圆C上的点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点T（x，y），
MN过F1，其方程可设为：y=k(x+

3

)
由题意得：M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式相减得：

(x1+x2)(x1-x2) 4 +(y1+y2)(y1-y2)=0， 又x= x1+x2 2 ，y= y1+y2 2

x 4 +ky=0，与y=k(x+ 3 )联立消去k可得： x2+ 3 x+4y2=0

即为线段MN中点T的轨迹方程．K不存在时也成立．　　　…（9分）
（Ⅲ）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-4k2

1+4k2

由于∠AOB为锐角，x₁x₂+y₁y₂＞0，∴

12

1+4k2

+

4-4k2

1+4k2

＞0
∴-2＜k＜2
∴直线L的斜率的取值范围是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）…（14分）

点评：本题考查了椭圆的定义与标准方程以及线段的中点坐标公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．