Question

已知直线 l：（1+

3

λ）x-（3-2λ）y-（

3

+3λ）=0（λ∈R），一定经过椭圆C（中心在原点，焦点在x轴上）的焦点F，且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为2+

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k_OA、k、k_OB成等差数列，点M（1，1），求S_△ABM的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定直线恒过定点（

3

，0），即F（

3

，0），可得c，利用椭圆C上的点到焦点F的最大距离为2+

3

，可得a，从而可得b，则椭圆的方程可求；
（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．

解答： 解：（1）直线 l：（1+

3

λ）x-（3-2λ）y-（

3

+3λ）=0（λ∈R），可化为
（x-3y-

3

）+λ（

3

x+2y-3）=0，
由x-3y-

3

=0，且

3

x+2y-3=0，可得x=

3

，y=0，
∴直线恒过定点（

3

，0），即F（

3

，0），
∴c=

3

，
∵椭圆C上的点到焦点F的最大距离为2+

3

∴a+c=2+

3

∴a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
∵k_OA、k、k_OB成等差数列，
∴m（x₁+x₂）=0，
∴m=0，
∴直线n的方程为y=kx
代入椭圆方程得（1+4k²）x²=4，
∴|AB|=

4 1+k2

1+4k2

．
∵M到y=kx的距离为d=

|k-1|

k2+1

∴S=

1

2

•

4 1+k2

1+4k2

•

|k-1|

k2+1

=

2|k-1|

1+4k2

∴S²=

4(k-1)2

1+4k2

，
∴（S²）′=

8(k-1)(4k+1)

(1+4k2)2

，
∴k＜-

1

4

，（S²）′＞0，-

1

4

＜k＜1，（S²）′＜0，k＞1，（S²）′＞0，
∴k=-

1

4

时，S取得最大值

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．