Question

已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=(a+

b

x

) ex．
（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；
（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）若a=2，b=1，求出函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）在（0，+∞）内的极值；
（2）①若a＞0，b＞0，根据函数单调性和导数之间的关系，即可证明f（x）在区间[1，2]上是增函数；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，建立不等式关系，利用数形结合即可求出由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．

解答： 解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+

1

x

）e^x，
则f′（x）=（x+1）（2x-1）•

ex

x2

，
由f′（x）＞0，得x＞

1

2

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，此时函数单调递减，
则当x=

1

2

时，f（x）取得极小值，f（

1

2

）=4

e

．
（2）f′（x）=（ax²+bx-b）•

ex

x2

，
设g（x）=ax²+bx-b，
①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-

b

2a

＜0，且g（1）=a＞0，
∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，
又

ex

x2

＞0，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e^-2，
则

(a+ b 2 )e2＜0 (a- b 2 )e-2＜e-2

，即

2a+b＜0 2a-b＜2

，（•），
∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即

g(1)=a＞0 g(2)=4a+b≥0

，（••），
在（•），（••）的条件下，b＜0，且1＜-

b

2a

≤2，
且g（-

b

2a

）=

-4ab-b2

4a

=-b(

4a+b

4a

)≥0恒成立，
综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为

a＞0，b＜0 2a+b＜0 4a+b≥0 2a-b＜2

，
则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（

1

3

，-

4

3

），B（

1

2

，-1），C（1，0），
则形成的平面区域的面积S=S_△OAC-S_△OBC=

1

2

(

4

3

-1)=

1

6

．
即△OAB的面积为

1

6

．

点评：本题主要考查函数极值的求解，函数单调性的应用，以及线性规划的基本应用，综合性较强，要求熟练掌握导数的应用．