Question

抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5．
（1）求直线AB的方程；
（2）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求最大面积．（其中O为坐标原点）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得F（1，0），由|FA|=2，得A（1，2）同理B（4，-4），由此能求出直线AB的方程．
（2）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且-4≤y₀≤2，由点P到直线AB的距离求出当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，又|AB|=3

5

，由此能求出△PAB的面积最大值和P点坐标．

解答： 解：（1）由已知得F（1，0），
设点A坐标为（x₁，y₁），
由|FA|=2，得x₁+1=2，x₁=1，所以A（1，2）
同理B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．（6分）
（2）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），
且-4≤y₀≤2
则点P到直线AB的距离：
d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，（10分）
又|AB|=3

5

，（12分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

，
此时P点坐标为(

1

4

，-1)．（15分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．