Question

在等边△ABC中，|

AB

|=a，O为三角形的中心，过点O的直线交线段AB于M，交线段AC于N．有下列四个命题：
①

1

OM2

+

1

ON2

的最大值为

18

a2

，最小值为

15

a2

；
②

1

OM2

+

1

ON2

的最大值和最小值与a无关；
③设

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，则

1

m

+

1

n

的值是与a无关的常数；
④设

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，则

1

m

+

1

n

的值是与a有关的常数．
其中正确命题的序号为：

 

．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）要判断

1

OM2

+

1

ON2

的最大值、最小值为多少，和a有无关系，想办法求出OM，ON即可．在△AOM中，因为O为△ABC的中心，所以AO的长度能确定，∠MAO=30°，所以设∠AMO=θ，则由正弦定理即可表示出OM=

3 a

6sinθ

，同样的办法表示ON=

3 a

6sin( 2π 3 -θ)

，这样便把OM，ON用θ表示出来了，这样便把

1

OM2

+

1

ON2

表示成了关于θ的函数，所以求这个函数的最大值与最小值即可．
（2）要求

1

m

+

1

n

，先想着让条件中出现

1

m

，

1

n

，所以由条件可得：

AB

=

1

m

AM

，

AC

=

1

n

AN

．又因为O是等边三角形ABC的中心，所以

AO

=

1

3

AB

+

1

3

AC

=

1

3m

AM

+

1

3n

AN

，又因为M，O，N三点共线所以

1

3m

+

1

3n

=1，这就可求得

1

m

+

1

n

=3，这样便可判断③正确，④错误．

解答： 解：（1）设∠AMO=θ，则∠ANO=

2π

3

-θ（

π

6

≤θ≤

π

3

），AO=

3 a

3

；
∴在△AMO中，由正弦定理得：

3 a 3

sinθ

=

OM

1 2

；
∴OM=

3 a

6sinθ

．
在△ANO中，由正弦定理得：

3 a 3

sin( 2π 3 -θ)

=

OM

1 2

；
∴ON=

3 a

6sin( 2π 3 -θ)

；
∴

1

OM2

+

1

ON2

=

12[sin2θ+sin2( 2π 3 -θ)]

a2

=

12[ 1-cos2θ 2 + 1-cos( 4π 3 -2θ) 2 ]

a2

12[1+ 1 2 sin(2θ- π 6 )]

a2

；
∵

π

6

≤θ≤

π

3

，∴

π

6

≤2θ-

π

6

≤

π

2

；
∴

1

OM2

+

1

ON2

的最大值为

18

a2

，最小值为

15

a2

．
∴①正确，②错误．
（2）∵O为等边△ABC的中心；
∴

AO

=

1

3

AB

+

1

3

AC

；
又由已知得：

AB

=

1

m

AM

，

AC

=

1

n

AN

；
∴

AO

=

1

3m

AM

+

1

3n

AN

；
又∵M，O，N三点共线；
∴

1

3m

+

1

3n

=1；
∴

1

m

+

1

n

=3．
∴③正确，④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查等边三角形中心的性质，正弦定理，正弦函数的最值，二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式，三点共线的特点．