Question

已知函数y=f（x）满足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），当x∈[-1，4]时，f（x）=x²-2^x，则f（x）在区间[0，2012]上零点的个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据y=f（x）满足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），求出周期为5；再求出f（x）在一个周期[-1，4]内的零点数，即可得出f（x）在区间[0，2012]上零点数．

解答： 解：∵函数y=f（x）满足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），
∴f（x+

5

4

+

5

4

）=-f[（x+

5

4

）-

5

4

]=-f（x），
即f（x+

5

2

）=-f（x）；
∴f[（x+

5

2

）+

5

2

]=-f（x+

5

2

）=-[-f（x）]=f（x），
即f（x+5）=f（x）；
∴f（x）的周期为5；
又∵x∈[-1，4]时，f（x）=x²-2^x，
∴f′（x）=2x-ln2•2^x，
∵f′（-1）＜0，f′（0）＜0，f′（1）＞0，f’（4）＜0，
∴f（x）在区间[-1，4]内先减后增，再减；
又∵f（-1）＞0，f（0）＜0，
∴f（x）在[-1，0]内有一个零点；
又∵f（2）=0，f（4）=0，
∴2，4也是函数的零点；
∴f（x）在[-1，4]内有且只有三个零点；
又∵2012÷5=402…2，
∴f（x）在区间[0，2012]上零点的个数为402×3+1=1207．
故答案为：1207．

点评：本题考查了函数的图象与性质的综合运用问题，解题时应先求出函数的周期，再求出一个周期内的零点数，从而求出结果，是较难的题目．