Question

如图，过双曲线x²-

y2

4

=1的右焦点作直线l与圆x²+y²=4相切于点M，l与双曲线交于点P，则

|PM|

|PF|

=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出直线PF的方程，与双曲线方程联立，求出P的坐标，再求出|PF|，|PM|，即可得出结论．

解答： 解：双曲线x²-

y2

4

=1的右焦点F（

5

，0），圆x²+y²=4的半径为2，∴MF=1，
∴OM的斜率为

1

2

，
∴PF的斜率为-2，
∴直线PF的方程为y=-2（x-

5

），
与双曲线方程联立，x=

3 5

5

，
∴y=

4 5

5

，
∴|PF|=2，
∵|MF|=

5-4

=1，
∴|PM|=1，
∴

|PM|

|PF|

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．