Question

已知椭圆的中心在原点，两个焦点分别为F₁（0，-2

2

），F₂（0，2

2

），离心率e=

2 2

3

（1）求椭圆方程；
（2）斜率为-9的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求直线l方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆c=2

2

，e=

2 2

3

，求出a，b，即可得出椭圆的方程；
（2）利用点差法，结合线段AB中点的横坐标为-

1

2

，即可求直线l的斜率，从而可得直线l方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，…（1分）
由已知c=2

2

，e=

2 2

3

解得a=3，b=1…（4分）
∴椭圆方程为：

y2

9

+x2=1．…（5分）
（2）设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），AB的中点为P（-

1

2

，t）在椭圆

y2

9

+x2=1内，…（6分）
由中点坐标公式有：x₁+x₂=-1，y₁+y₂=2t，
A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入椭圆方程相减可得k_AB=-

9

2t

=-9…（10分）
解得t=

1

2

，
∴P（-

1

2

，

1

2

）…（11分）
∴直线l方程为：9x+y+4=0…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．