Question

求函数f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：f′（x）=-6x²+6a，由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

，由此利用a的取值范围分类讨论，能求出函数f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值．

解答： 解：∵f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1），
∴当a≤0时，f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值为：
f（0）=0．
当0＜a≤1时，
f′（x）=-6x²+6a，
由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

（∵-

a

∉[0，1]，∴舍去），
∵f（0）=0，
f（

a

）=-2a

a

+6a

a

=4a

a

，
f（1）=-2+6a，
∴函数f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值为4a

a

．
当a＞1时，
∵由f′（x）=0，得x²=a，解得x=

a

，或x=-

a

，

a

，-

a

均不属于[0，1]，
f（0）=0，
f（1）=-2+6a，
∴函数f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值为-2+6a．
综上所述：
函数f（x）=-2x³+6ax（0≤x≤1）的最大值为：

0，a≤0 4a a ，0＜a≤1 6a-2，a＞1

．

点评：本题考查函数的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．