Question

若椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e为

3

5

，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

c a = 3 5 c=3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设Q（x，y），|MQ|²=

9

25

x2-4x+20，由对称轴x=

50

9

＞5，当|MQ|最小时，能求出Q点坐标．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，0），（-5≤m≤5），直线l：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 25 + y2 16 =1

，利用韦达定理推导出|PA|²+|PB|²=(k2+1)•

(512-800k2)m2+800(16+25k2)

(25k2+16)2

，由|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，得512-800k²=0，由此能求出k．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e为

3

5

，
且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．

c a = 3 5 c=3

，解得a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
∴椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）设Q（x，y），∵点Q是椭圆上一点，∴-5≤x≤5，
∴|MQ|²=（x-2）²+y²=x2-4x+4+16-

16

25

x2=

9

25

x2-4x+20，
∵对称轴x=

50

9

＞5，
∴当x=5时，|MQ|²取最小值，
∴当|MQ|最小时，Q点坐标为（5，0）．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（m，0），（-5≤m≤5），直线l：y=k（x-m），
由

y=k(x-m) x2 25 + y2 16 =1

，得x1+x2=

50mk2

25k2+16

，x1x2=-

25m2k2-400

25k2+16

，
∴y₁+y₂=k²（x₁-m）（x₂-m）
=k2x1x2-k2m(x1+x2)+k2m2
=

(16m2-100-50m2k2)k2

25k2+16

，
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y12+（x₂-m）²+y22
=(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+(y1+y2)2-2y1y2+2m2
=(k2+1)•

(512-800k2)m2+800(16+25k2)

(25k2+16)2

，
∵|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，
∴512-800k²=0，∴k=±

4

5

．

点评：本题考查椭圆的求法，考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．