Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，y轴右侧的点A在椭圆E上运动，直线MA与圆C：x²+y²=b²相切于点M（x₀，y₀）．
（1）求直线MA的方程；
（2）求证：|AF|+|AM|为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由直线MA与OM垂直，得直线MA的斜率k_MA=-

x0

y0

，由此能求出直线MA的方程．
（2）|AM|=

OA2-OM2

=

x2+y2-b2

=

x2-( b a )2x2

=

cx

a

，|AF|=

(x-c)2+y2

=a-

c

a

x，由此能证明|AM|+|AF|=

cx

a

+a-

cx

a

=a为定值．

解答： （1）解：∵直线MA与圆C：x²+y²=b²相切于点M（x₀，y₀），
∴直线MA与OM垂直，
∵k_OM=

y0

x0

，∴直线MA的斜率k_MA=-

x0

y0

，
∴直线MA的方程：y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），
整理，得x₀x+y₀y=b²．
（2）|AM|=

OA2-OM2

=

x2+y2-b2

=

x2-( b a )2x2

=

cx

a

，
|AF|=

(x-c)2+y2

=

(x-c)2+b2-( b a )2x2

=

x2-2cx+c2+b2-( b a )2x2

=

x2-2cx+a2-( b a )2x2

=

( c a )2x2-2cx+a2

=

c

a

|x-

a2

c

|=a-

c

a

x，
∴|AM|+|AF|=

cx

a

+a-

cx

a

=a．
∴AF|+|AM|为定值a．

点评：本题考查直线方程的求法，考查两线段和为定值的证明，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．