Question

设函数f（x）=x³-

1

2

x²-2x-

2

3

．
（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）恒成立问题可转化成f（x）_max＜m即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-

2

3

．
在（-∞，-

2

3

）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（-

2

3

，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
所以所求f（x）的单调增区间为（-∞，-

2

3

]和[1，+∞），单调减区间为[-

2

3

，1]．
（2）由（1）知，当x∈[-1，-

2

3

]时，f′（x）＞0，[-

2

3

，1]时，f′（x）＜0
∴f（x）≤f（-

2

3

）=

4

27

．
∵当x∈[-1，1]时，f（x）＜m恒成立，
∴m＞

4

27

．

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理，注意利用好导数工具．