Question

已知抛物线的顶点是椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的中心O，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右准线交x轴于点Q，过点Q的直线l交抛物线于D、E两点．求△ODE面积的最小值；
（Ⅲ）设A、B分别为椭圆C的左、右顶点，P为右准线上不同于点Q的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N．求证：点B在以MN为直径的圆内．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=2px，（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得抛物线的焦点为（1，0），由此能示出抛物线的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ay+4，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．联立

x=ay+4 y2=4x

，整理得：y²-4ay-16=0，由此利用椭圆弦长公式能求出△ODE面积的最小值．
（Ⅲ） A（-2，0），B（2，0）．设M（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）．由已知条件得

BM

•

BP

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．由此能证明点B在以MN为直径的圆内．

解答： （Ⅰ）解：由题意，可设抛物线方程为y²=2px，（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），解得p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．
（Ⅱ）解：∵椭圆的右准线方程为x=4，∴Q（4，0），
设直线l的方程为x=ay+4，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
联立

x=ay+4 y2=4x

，整理得：y²-4ay-16=0，∴y₁+y₂=4a，y₁y₂=-16，
∴S_△ODE=

1

2

|OQ|•|y₁-y₂|=2

(y1+y2)2-4y1y2

=8

a2+4

，
∴当a=0时，（S_△ODE）_min=16．
（Ⅲ）证明：∵A（-2，0），B（2，0）．设M（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）．
∵M点在椭圆上，∴y₀=

3

4

（4-x₀²）．①
又直线AP的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，则 P（4，

6y0

x0+2

）．
从而

BM

=（x₀-2，y₀），

BP

=（2，

6y0

x0+2

）．
∴

BM

•

BP

=2x₀-4+

6y02

x0+2

=

2

x0+2

（x₀²-4+3y₀²）．②
将①代入②，化简得

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，∴

BM

•

BP

＞0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，考查点在圆内的证明，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．