Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为

1

2

，求椭圆上到l的距离为

3 5

5

的点的个数；
（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）写出直线方程，可得切线方程，再利用两条直线间的距离公式，即可得出结论；
（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S₁-S₂|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x₁+x₂，x₁x₂，|S₁-S₂|可转化为关于x₁，x₂的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值

解答： 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点为F（-1，0），所以c=1，
又b²=3所以a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
（Ⅱ）直线l的斜率为

1

2

，方程为x-2y+1=0，设切线y=

1

2

x+b，
与椭圆方程联立，得4x²+4bx+4b²-12=0，
由△=0得b=±2，
∴切线方程为x-2y±4=0，
x-2y+4=0与l的距离为

|4-1|

5

=

3 5

5

，x-2y-4=0与l的距离为

|-4-1|

5

=

5

＞

3 5

5

∴椭圆上到l的距离为

3 5

5

的点的个数为3个；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线为x=-1，此时C(-1，-

3

2

)，D(-1，

3

2

)
△ABD与△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0                           …（7分）
当直线l斜率存在时，显然k≠0，
设直线为y=k（x+1）（k≠0）联立椭圆方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0，且x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

…（8分）
此时|S1-S2|=

1

2

•|AB|•||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k(x1+x2)+2k|=

12|k|

3+4k2

…（10分）
因为k≠0，上式=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 3 |k| •4|k|

=

3

当k=±

3

2

时等号成立
综上的，|S₁-S₂|的最大值为

3

         …（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．