Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
（2）若存在两个实数x₁，x₂且x₁≠x₂，满足f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），求证x₁x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由条件可知方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，令h（x）=

lnx

x

，应用导数求出h（x）的最值，即可得到a的取值范围；
（2）由条件得lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），故推出x₁•x₂＞e²等价于ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

再令令

x1

x2

=t，x₁•x₂＞e²等价于lnt＞

2(t-1)

t+1

，构造g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，应用导数，判断单调性，得到g（t）在（1，+∞）上递增，从而得证．

解答： （1）解：∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，
∴方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，
则a=

lnx

x

，令h（x）=

lnx

x

，h′（x）=

1-lnx

x2

，
当x＞e，h′（x）＜0；当0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取极大值，也为最大值

1

e

．
∴实数a的取值范围是：（

1

e

，+∞）．
（2）证明：令x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴x₁•x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?a＞

2

x1+x2

，
即

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，则t＞1，x₁•x₂＞e²等价于lnt＞

2(t-1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞

2(t-1)

t+1

成立．
故x₁•x₂＞e²．

点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值、最值中的应用，以及构造函数应用导数证明不等式，属中档题．