Question

已知函数f（x）=x-

a

x

（a∈R），求证：在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013至多有一个根．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：讨论a的取值范围，判断函数的单调性，即可得到结论．

解答： 证明：若a≥0时，函数f（x）单调递增，此时在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013有一个根，
若a＜0，则f（x）=x-

a

x

=x+

-a

x

（a∈R），则（0，

-a

）上单调递减，在[

-a

，+∞）上单调递增，
即在x=

-a

），函数取得最小值f（

-a

）=2

-a

，此时函数f（x）在[

|a|

，+∞）上单调递增，
若2

-a

＜2013时，此时方程f（x）=2013无解，
若2

-a

≥2013，方程f（x）=2013有1解，
综上：在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013至多有一个根．

点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数f（x）的单调性是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论．