Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=-2n，（n∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求f（x）的表达式（含有字母n）；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1=f′（a_n），且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）条件下，若b_n=n•2 

an+1-an

2

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在自然数M，使得当n＞M时n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=-2n，（n∈N^*）．f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，可求f（x）的表达式（含有字母n）；
（2）利用叠加法，求出数列{a_n}的通项公式；
（3）利用错位相减法求和，即可得出结论．

解答： 解：（1）由已知，可得c=0，f′（x）=2ax+b，…（1分）
∴b=2n，

b

2a

=2n，解之得a=

1

2

，b=2n       …（3分）
∴f（x）=

1

2

x²+2nx           …（4分）
（2）∵a_n+1=f′（a_n）=a_n+2n，…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=2（1+2+…+n-1）+4=n²-n+4     …（8分）
（3）∵a_n+1-a_n=2n
∴b_n=n•2 

an+1-an

2

=n•2ⁿ，…（10分）
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，（1）
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，（2）
（1）-（2）得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，…（12分）
∴n•2ⁿ⁺¹-S_n=2ⁿ⁺¹-2＞50，即2ⁿ⁺¹＞52，
∴n≥5  …（13分）
∴存在自然数M=4，使得当n＞M时n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立        …（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求通项是关键．