Question

已知动点M（x，y）到直线L：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程．
（2）过点P（0，1）的直线m与曲线C交于A，B两点，若

AP

=2

PB

，求直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据动点M（x，y）到直线L：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，建立方程，即可得到动点C的轨迹方程；
（2）设m的方程为：y=kx+1代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：3x²+4（k²x²+2kx+1）=12，利用韦达定理，结合

AP

=2

PB

，即可求直线m的方程．

解答： 解：（1）由已知得：|x-4|=2

(x-1)2+y2

两边平方：x²-8x+16=4（x²-2x+1+y²）
整理为：3x²+4y²=12
所以轨迹C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）当m⊥x轴时，|AP|=

3

+1，|PB|=

3

-1或|AP|=

3

-1，|PB|=

3

+1
此时，

AP

=2

PB

都不成立．
所以可设m的方程为：y=kx+1
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：3x²+4（k²x²+2kx+1）=12
整理为：（3+4k²）x²+8kx-8=0-----*
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则 

x1+x2= -8k 3+4k2 ------① x1x2= -8 3+4k2 -------②

又由 

AP

=2

PB

得（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1）∴-x₁=2x₂---------------③
联立①，③并解之得：

x1= -16k 3+4k2 x2= 8k 3+4k2

代入②：

-16×8k2

(3+4k2)2

=

-8

3+4k2

化为16k²=3+4k²，k2=

1

4

∴k=±

1

2

经验证，此时方程*的判别式△＞0．
所以直线m的方程为：y=

1

2

x+1或y=-

1

2

x+1…（12分）

点评：本题给出动点满足的条件，求它的轨迹方程并依此求直线与椭圆的位置关系．着重考查了两点的距离公式、直线的方程和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．