Question

已知函数f（x）=

ex

2

-

1

ex

-ax（a∈R）．
（1）当a=

3

2

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据导数求出函数的单调区间；
（2）需要分两类，函数f（x）在[-1，1]上为单调减函数和函数f（x）在[-1，1]上为单调增函数，然后分离参数，根据函数的最值，求出范围即可．

解答： 解：（1）当a=

3

2

时，函数f（x）=

ex

2

-

1

ex

-

3

2

x，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-

3

2

=

e2x-3ex+2

2ex

=

(ex-1)(ex-2)

2ex

，
令f′（x）=0，解得x=0．或x=ln2，
当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞ln2，故函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜ln2，故函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）单调增区间为（-∞．0）∪（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）
（2）∵f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a，
①若函数f（x）在[-1，1]上为单调减函数，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a≤0，在[-1，1]恒成立，
即a≥

ex

2

+

1

ex

令g（x）=

ex

2

+

1

ex

，
则g′（x）=

ex

2

-

1

ex

=

(ex+ 2 )(ex- 2 )

2ex

，
 当x∈[-1，ln

2

），g（x）单调递减，x∈（ln

2

，1]单调递增，
又因为g（1）=

e

2

+

1

e

，g（-1）=

1

2e

+e，
g（1）＜g（-1），
故g（x）_max=g（-1）=

1

2e

+e，
故a≥

1

2e

+e，
②若函数f（x）在[-1，1]上为单调增函数，
∴f′（x）=

ex

2

+

1

ex

-a＞0，在[-1，1]恒成立，
即a＜

ex

2

+

1

ex

令h（x）=

ex

2

+

1

ex

，
则h′（x）=

ex

2

-

1

ex

=

(ex+ 2 )(ex- 2 )

2ex

，
 当x∈[-1，ln

2

），g（x）单调递减，x∈（ln

2

，1]单调递增，
故当x=ln

2

，h（x）有最小值，最小值为h（x）_min=h（ln

2

）=

2

故a≤

2

，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，

2

]∪[

1

2e

+e，+∞）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数饿最值知识，考查运算求解能力分类讨论的能力，属于中档题．