Question

已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

x2-1

+a，求f（x）=g（x）的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：构造函数m（x）=f（x）-g（x），利用导数研究函数的极值，即可得到结论．

解答： 解：构造函数m（x）=f（x）-g（x），
则m（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-

1

x2-1

-a，函数f（x）的定义域为{x|x≠±1}，函数m（x）为偶函数，
则m′（x）=

2x

x2+1

+

2x

(x2-1)2

=2x[

1

x2+1

+

1

(x2-1)2

]，
由m′（x）＞0，解得x＞0且x≠1，此时函数单调递增，
由m′（x）＜0，解得x＜0且x≠-1，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），和（-1，0），
∴在（-1，1）上函数m（x）取得极小值m（0）=1-a，
当x→-1^-，m（x）→-∞，当x→-1⁺，m（x）→+∞，
当x→-∞，m（x）→+∞，当x→+∞，m（x）→+∞，
故当1-a＞0，即a＜1时，方程有2个根，
当1-a=0，即a=1时，方程有3个根，
当1-a＜0，即a＞1时，方程有4个根．

点评：本题主要考查方程根的个数的判断．构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值，利用数形结合是解决本题的关键．