Question

在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|

OM

|：|

OA

|=1：3，|

ON

|：|

OB

|=1：4，设线段AN与BM交于点P，记

OA

=

a

，

OB

=

b

，用

a

，

b

表示向量

OP

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由于A，P，N三点共线，由向量共线定理可得：存在实数λ使得

OP

=λ

OA

+(1-λ)

ON

=λ

OA

+

1-λ

4

OB

，同理可得：存在实数λ使得

OP

=μ

OM

+(1-μ)

OB

=

1

3

μ

OA

+(1-μ)

OB

．再利用共面向量基本定理可得：

λ= 1 3 μ 1-λ 4 =1-μ

，解得即可．

解答： 解：∵A，P，N三点共线，∴存在实数λ使得

OP

=λ

OA

+(1-λ)

ON

=λ

OA

+

1-λ

4

OB

，
∵B，P，M三点共线，∴存在实数λ使得

OP

=μ

OM

+(1-μ)

OB

=

1

3

μ

OA

+(1-μ)

OB

．
由共面向量基本定理可得：

λ= 1 3 μ 1-λ 4 =1-μ

，解得

λ= 3 11 μ= 9 11

．
∴

OP

=

1

3

×

9

11

OA

+(1-

9

11

)

OB

=

3

11

a

+

2

11

b

．

点评：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．