Question

己知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），动点P满足条件||PF₁|-|PF₂||=2

3

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程E．
（Ⅱ）是否存在过点G（2，2）的直线l与曲线E交于不同的两点N，N，使G平分线段MN，试证明你的结论．
（Ⅲ）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）动点P是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的双曲线，且双曲线的实轴为2

3

，由此能求出动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）假设存在存在过点G（2，2）的直线l与曲线E交于不同的两点N，N，使G平分线段MN，利用点差法能求出存在过点G（2，2）的直线l，其方程为y=

1

3

x+

4

3

．
（Ⅲ）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）两点F₁（-2，0），F₂（2，0），动点P满足条件||PF₁|-|PF₂||=2

3

．
∴动点P是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的双曲线，
且双曲线的实轴为2

3

，
∴动点P的轨迹方程E为：

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）假设存在存在过点G（2，2）的直线l与曲线E交于不同的两点N，N，使G平分线段MN，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=4，
把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）代入

x2

3

-y2=1，得：

x12

3

-y12=1，①，

x22

3

-y12=1，②
①-②，得：

(x1+x2)(x1-x2)

3

-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴

4

3

(x1-x2)=4(y1-y2)，
k=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，
∴直线l为：y-2=

1

3

(x-2)，即y=

1

3

x+

4

3

，
把y=

1

3

x+

4

3

代入

x2

3

-y2=1，得2x²-8x-25=0，
△=64+200＞0，
∴存在过点G（2，2）的直线l，其方程为y=

1

3

x+

4

3

．
（Ⅲ）（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=72k2+36(1-3k2)＞0

，
即k²≠

1

3

且k²＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_Ax_B=

-9

1+3k2

，
由

OA

•

OB

＞22得x_Ax_B+y_Ay_B＞2，
而x_Ax_B+y_Ay B =x_Ax_B+（kx_A+

2

）（kx_B+

2

）
=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 k

1+3k2

+2=

3k2+7

3k2-2

．
于是

3k2+7

3k2-2

＞2，解得

1

3

＜k2＜3．②
由①、②得

1

3

＜k²＜1．
故k的取值范围为（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．