Question

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一个顶点坐标为A（

2

，0），且抛物线y=

1

4

x²的焦点是椭圆C₁的另一个顶点．
（l）求椭圆C₁的方程；
（2）①若直线l：y=kx+m同时与椭圆C₁和曲线C₂：x²+y²=

4

3

相切，求直线l的方程．
②若直线l：y=kx+m与椭圆C₁交于M，N，且直线OM的斜率是k_OM与直线ON的斜率k_ON满足k_OM+k_ON=4k（k≠0），求证：m²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一个顶点坐标为A（

2

，0），另一个顶点为（0，1），由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）①由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判断式和椭圆C₁和曲线C₂相切，能求出直线l的方程．
②设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韦达定理结合已知条件能证明m²为定值

1

2

．

解答： （1）解：∵抛物线y=

1

4

x²的焦点为（0，1），
∴椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1的一个顶点坐标为A（

2

，0），另一个顶点为（0，1），
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）①解：由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，（*）
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，
即2k²-m²+1=0，①
直线l与x2+y2=

4

3

相切，则

4 3

=

|m|

1+k2

，
即m²=

4

3

(1+k2)，②
联立①②，得k=±

2

2

，m=±

2

，
故l的方程为y=±

2

2

x±

2

．
②证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由（*）式，得x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，
k_OM+k_ON=

y1

x1

+

y2

x2

=2k+

m(x1+x2)

x1x2

=4k，
解得m²=

1

2

．
∴m²为定值

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的平方为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．