Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（

3

2

，1），离心率e=

3

2

，直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，向量

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距）时，求直线l的斜率k．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+

3

，由

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，由此利用韦达定理、向量垂直结合已知条件能求出直线l的斜率k．

解答： 解：（Ⅰ）∵由已知条件得

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a=2，b=1
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1（5分）
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y=kx+

3

，
由 

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
△＞0，（8分）x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

，
由已知

m

⊥

n

．得：
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+

3

)(kx2+

3

)
=(4+k2)x1x2+

3

k(x1+x2)+3（12分）
=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•

-2 3 k

k2+4

+3=0，
解得k=±

2

（13分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．