Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：x+2y+6=0上一点M反射后，恰好穿过点F₂（1，0）．
（1）求点F₁关于直线l的对称点F′₁的坐标；
（2）求以F₁、F₂为焦点且过点M的椭圆C的方程；
（3）若P是（2）中椭圆C上的动点，求

PF1

•

PF2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设F'₁（x₀，y₀），则

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，由此能求出点F'₁的坐标．
（2）由对称性知，|MF₁|=|MF'₁|，根据椭圆定义，得：2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|，即a=2

2

．再由c=1，能求出椭圆C的方程．
（3）设P（x，y），则y2=7-

7

8

x2，由此能求出

PF1

•

PF2

的取值范围．

解答： 解：（1）设F'₁（x₀，y₀），
则

y0

x0+1

=2，且

x0-1

2

+2•

y0

2

+6=0，
解得x₀=-3，y₀=-4，
故点F'₁的坐标为（-3，-4）．（5分）
（2）由对称性知，|MF₁|=|MF'₁|，
根据椭圆定义，得：
2a=|MF'₁|+|MF₂|=|F'₁F₂|
=

(-3-1)2+(-4-0)2

=4

2

，
即a=2

2

．
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

7

．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

7

=1．（10分）
（3）设P（x，y），则y2=7-

7

8

x2，
∴

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1=

1

8

x2+6．
∵x∈[-2

2

，2

2

]，则x²∈[0，8]，
∴

PF1

•

PF2

的取值范围是[6，7]．（16分）

点评：本题考查点的坐标的求法，考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．