Question

已知P（-5，0），点Q是圆（x-5）²+y²=36上的点，M是线段PQ的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过点P的直线l和轨迹C有两个交点A、B（A、B不重合），①若|AB|=4，求直线l的方程．②求

PA

•

PB

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M（x，y），则P（-5，0）关于M的对称点为Q（2x+5，2y），由此能求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程是y=k（x+5），由方程组

y=k(x+5) x2+y2=9

，得（1+k²）x²+10k²x+25k²-9=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线l的方程．
②由①得|PA|•|PB|=

1+k2

|x1+5|•

1+k2

|x2+5|，由此能求出

PA

•

PB

的值是16．

解答： （Ⅰ）解：设M（x，y），则P（-5，0）关于M的对称点为Q（2x+5，2y），
∵点Q是圆（x-5）²+y²=36上的点，
∴（2x+5-5）²+（2y）²=36，即x²+y²=9，
所以轨迹C的方程是x²+y²=9．…（3分）
（Ⅱ）①解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程是y=k（x+5），
由方程组

y=k(x+5) x2+y2=9

，得（1+k²）x²+10k²x+25k²-9=0，
由△=（10k²）²-4（1+k²）（25k²-9）＞0，得-

3

4

＜k＜

3

4

∴x1+x2=-

10k2

1+k2

，x1x2=

25k2-9

1+k2

，…（6分）
∵|AB|=4，∴

1+k2

|x1-x2|=4，
∴

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4，
∴

1+k2

•

(- 10k2 1+k2 )2- 4(25k2-9) 1+k2

=4，
解得k=±

1

2

，∴直线l的方程是y=±

1

2

(x+5)，
即直线l的方程是x+2y+5=0或x-2y+5=0．…（10分）
②解：由①可得　|PA|•|PB|=

1+k2

|x1+5|•

1+k2

|x2+5|
=（1+k²）|x₁x₂+5（x₁+x₂）+25|
=(1+k2)|

25k2-9

1+k2

-

50k2

1+k2

+25|=16．…（13分）
∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|=16．
∴

PA

•

PB

的值是16．…（14分）
注：第②小题，如果考生证△PAD∽△PDB，从而得出|PD|²=|PA|•|PB|（其中D是直线l和圆相切时的切点），证明完整，得满分，没有证明，直接用|PD|²=|PA|•|PB|者，最多得（2分）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．