Question

已知一元二次方程x²-ax+1=0（a∈R），
（1）若x=

3

4

+

7

4

i是方程的根，求a的值；
（2）若x₁，x₂是方程两个虚根，且|x₁-1|＞|x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用实系数方程虚根成对，求出a．
（2）利用复数方程，求出x₁，x₂两个虚根，通过复数的模求解即可．

解答： 解：（1）已知一元二次方程x²-ax+1=0（a∈R），
若x=

3

4

+

7

4

i是方程的根，则x=

3

4

-

7

4

i也是方程的根．
（

3

4

+

7

4

i）+（

3

4

-

7

4

i）=

a

2

，解得a=

3

4

．
（2）x₁，x₂是方程x²-ax+1=0两个虚根，不妨x₁=

a- 4-a2 i

2

，x₂=

a+ 4-a2 i

2

，a∈（-2，2）
|x₁-1|＞|x₂|，
∴(

a

2

-1)2+(-

4-a2

2

)2＞(

a

2

)2+(

4-a

2

)2，
∴a＜1，
综上，-2＜a＜1．

点评：本题考查复数代数形式混合运算，复数方程的求法模的运算，考查计算能力．