Question

已知△ABC是边长为2的等边三角形，在平面ABC所在平面上有一点P，M是AP的中点，满足（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=0，则|

BM

|的最小值为（　　）

• A、

  7 - 3

  2

• B、

  3 -1

  2

• C、

  3

  2

• D、

  7

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，C（2，0），A(1，

3

)．设M（x，y），由于M是AP的中点，可得P(2x-1，2y-

3

)．（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=

MC

•

PB

=(x-2)(2x-1)+y(2y-

3

)=0，化为(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．可得圆心Q(

5

4

，

3

4

)，半径r=

3

2

．利用|

BM

|=

x2+y2

≥|BQ|-r．即可得出．

解答： 解：如图所示，
C（2，0），A(1，

3

)．
设M（x，y），∵M是AP的中点，则P(2x-1，2y-

3

)．
∴（

AC

-

AM

）•（

AB

-

AP

）=

MC

•

PB

=（x-2，y）•(2x-1，2y-

3

)=(x-2)(2x-1)+y(2y-

3

)=0，
化为(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．
∴|

BM

|=

x2+y2

≥

( 5 4 )2+( 3 4 )2

-

3

2

=

7 - 3

2

．
故选：A．

点评：本题考查了向量的数量积运算、中点坐标公式、圆的标准方程、点与圆上的点的距离，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．