Question

若椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为

2

-1．
（1）求椭圆方程；
（2）求椭圆离心率．

Answer 1

分析：（1）由题意推出椭圆的关系，b=c，利用焦点到同侧长轴端点距离为

2

-1，
（2）通过椭圆方程，求出椭圆的离心率．

解答：解：（1）因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，
所以b=c，a=

2

b，又焦点到同侧长轴端点距离为

2

-1，
即a-c=

2

-1，即a-b=

2

-1，解得a=

2

，b=c=1，
所以当焦点在x轴时，椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1；
当焦点在y轴时，椭圆的方程为

y2

2

+x2=1．
（2）由（1）可知a=

2

，b=c=1，所以椭圆的离心率为：

c

a

=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，离心率的求法，考查计算能力．