Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是它的一个焦点,又点在该椭圆上.

（1）求椭圆的方程;

（2）若斜率为直线与椭圆交于不同的两点,当面积的最大值时，求直线的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1)； (2) 。

【解析】

试题分析：(1)由已知抛物线的焦点为,

故设椭圆方程为                                ………2分

将点代入方程得,整理得,得或(舍) 

故所求椭圆方程为                                  ………5分

(2) 设直线的方程为,设

代入椭圆方程并化简得,       

由,可得.       ( )

由,                              ………7分

故. 又点到的距离为,   ………9分

故,   ………11分

当且仅当,即时取等号(满足式),取得最大值.

此时所求直线l的方程为                             ………12分

考点：本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，基本不等式的应用。

点评：中档题，本题求椭圆的标准方程，运用的是“待定系数法”，注意明确焦点轴和p的值。研究直线与椭圆的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。