抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.
如图所示,依题意,设抛物线方程为y2=2px,则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为C、D.
则由抛物线定义得
|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1++x2+,………………4分
即x2++x2+=8.①
又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
由消去y,得x2-3px+=0,
Δ=9p2-4×=8p2>0.
所以x1+x2=3p.
将其代入①得p=2,
所以所求抛物线方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x.………………8分
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
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3 |
AC |
AB |
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