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抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

 

【答案】

 

如图所示,依题意,设抛物线方程为y2=2px,则直线方程为y=-xp.设直线交抛物线于A(x1y1)、B(x2y2)两点,过AB分别作准线的垂线,垂足分别为CD.

则由抛物线定义得

|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

x1++x2+,………………4分

x2++x2+=8.①

A(x1y1)、B(x2y2)是抛物线和直线的交点,

由消去y,得x2-3px+=0,

Δ=9p2-4×=8p2>0.

所以x1x2=3p.

将其代入①得p=2,

所以所求抛物线方程为y2=4x.

当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,

同理可求得抛物线方程为y2=-4x.

故所求抛物线方程为y2=4xy2=-4x.………………8分

【解析】略

 

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(2012•江苏一模)本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识,考查运算求解、推理论证的能力.
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(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0),求证:直线AB过定点.

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3
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(Ⅰ)求椭圆和抛物线的标准方程;
(Ⅱ)过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B,C,若
AC
=2
AB
,求直线l的斜率k.

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