已知函数(为常数).
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)若,且对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
(1)函数的单调递减区间为;(2)实数的取值范围是.
解析试题分析:(1)将代入函数解析式并求出相应的导数,利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间;(2)构造新函数,将问题转化为“对任意时,恒成立”,进而转化为,围绕这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数的取值范围.
试题解析:(1)的定义域为,,
当时,, 2分
由及,解得,所以函数的单调递减区间为 4分
(2)设,
因为对任意的,恒成立,所以恒成立,
,
因为,令,得,, 7分
①当,即时,
因为时,,所以在上单调递减,
因为对任意的,恒成立,
所以时,,即,
解得,因为。所以此时不存在; 10分
②当,即时,因为时,,时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为对任意的,恒成立,所以,且,
即,解得,
因为,所以此时; 13分
③当,即时,因为时,,
所以在上单调递增,由于,符合题意; 15分
综上所述,实数的取值范围是 16分
考点:函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(是自然对数的底数).
(1)若曲线在处的切线也是抛物线的切线,求的值;
(2)当时,是否存在,使曲线在点处的切线斜率与 在
上的最小值相等?若存在,求符合条件的的个数;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是实数,函数,和,分别是的导函数,若在区间上恒成立,则称和在区间上单调性一致.
(Ⅰ)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设且,若函数和在以为端点的开区间上单调性一致,求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)试问的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在(2)的条件下,令.若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
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