Question

34、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）若在棱DD₁上有一点P，使BD₁∥平面PMN，求线段DP与PD₁的比．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由正方形性质得AC⊥BD，又由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点，易得MN∥AC，则MN⊥BD．BB₁⊥MN，由线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）设MN与BD的交点是Q，连接PQ，PM，PN，由线面平行的性质定理，我们易由BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，得BD₁∥PQ，再由平行线分线段成比例定理，得到线段DP与PD₁的比．

解答：解：（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，
又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁⊥平面ABCD，
∵MN?平面ABCD，
∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，
∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵MN?平面B₁MN，
∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）设MN与BD的交点是Q，连接PQ，PM，PN
∵BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，
∴BD₁∥PQ，
∴DP：PD₁=DQ：QB=3：1．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．